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機床無刷直流電機係（xì）統的分岔分析與控製*

2016-9-6 來源：東北電力大學理學（xué）院作者：張中華付景超鄧冠男

摘要：文（wén）章主要研究了機床無刷（shuā）直流電機係統的Hopf 分岔控製問題．首先，對係（xì）統進行分岔分析，通（tōng）過計算極限環曲率係數判定（dìng）係統的（de）Hopf 分岔類型; 然（rán）後設計Washout 濾波器對係統進行分岔控（kòng）製，根據Hopf 分岔理論給出使原係統Hopf 分岔位置發生改變的參數條件，利用Normal Form 方法計算出受控（kòng）係統的Hopf 分岔正（zhèng）規型，根據正規型的實部大小判定Hopf 分岔類型（xíng），給出（chū）使（shǐ）原（yuán）係統Hopf 分岔類（lèi）型發生改變的參數條件; 並借助MATLAB 軟件對（duì）理論結果進行數（shù）值（zhí）仿真，理論結果和數值仿真表明: 控製器中的線性增益（yì）能使係統（tǒng）在所期望的參數值處發生Hopf 分岔，甚至消除Hopf 分岔，控製器中的非線（xiàn）性增益能改變原係統的（de）Hopf 分岔類（lèi）型及極限環幅值的大小．研（yán）究結（jié）果對（duì）無刷直流電動機係統的工程實際具有一定的指導意義．

關鍵詞：Hopf 分岔（chà），分岔控（kòng）製， Washout 濾波器，無刷直流電機（jī）

0、引言

無刷直流電動機係統是集（jí）永磁同（tóng）步電（diàn）機、位置檢測元件和驅動控製電路於一體的機電一體化產品，它既具備（bèi）交流電動（dòng）機結構簡單、運行可靠、維護方便等（děng）一係列優點，又具（jù）備直流電動（dòng）機運行效率高、無勵磁損耗等優點，在伺服和驅動係（xì）統中得（dé）到廣泛應用．但在實際運行當中，在一定（dìng）的參數（shù）條件下，係統會出現分岔行為，進（jìn）而導致混（hún）沌運動，表現為電流（liú）波形出現不規則的電流噪聲，電機轉速忽大忽（hū）小，隨機波動（dòng），電（diàn）機運行性能不穩定等．這種混沌現象在機床，特別是在精密機床的傳動係統中是不允許出現的，因此對直流（liú）電機係統（tǒng）分岔、混沌及其控製方麵（miàn）的研究一直備受關注．但到（dào）目（mù）前為止，大部分文獻主要集（jí）中研究（jiū）非線性動力係統的分岔行為及混沌控製問題［1 － 2］．文獻［3］建立了無刷直流（liú）電機的等效無量綱模型，分析了模型解的（de）穩定性情況．文獻［4］在此基礎（chǔ）上進一步研究了無刷直流電機的Hopf 分岔行為和（hé）混沌現象，但（dàn）沒有進（jìn）行這方麵的控製．文獻［5 － 7］在文獻［3 － 4］的（de）基礎上（shàng）分別（bié）采（cǎi）用不同的方法對無刷直流電機的（de）混沌（dùn）現象進行控製，從而保證了（le）電機運行性能的穩定（dìng）性．但（dàn）對係統的分岔（chà）控製沒有研究，分岔是導致混沌產（chǎn）生的一種途徑，對係統進行分岔（chà）控製有時可（kě）避免混沌的產生，進而減少混（hún）沌對係統造成的（de）危害．文獻［8 －10］利用這（zhè）種方法對混（hún）沌係（xì）統（tǒng）進行了分岔控製．

基於上述原因，本文在文獻［4］和文獻［7］的基礎上，對無（wú）刷直（zhí）流電機係統的等效非線性（xìng）數學模型進行研究，首先討論係統的Hopf 分岔類型（xíng），然後設計washout 濾波（bō）器對係統（tǒng）的Hopf 分岔行為進（jìn）行控製，進而控製（zhì）混沌的產生，保證電機運行（háng）性能穩（wěn）定性．主要利用Hopf 分岔理論及Normal Form 直接方法，給出原（yuán）係統Hopf 分岔點提前、延遲或消失應滿足的參數條件和原係統Hopf 分岔類型發生改變應滿足的參數條件，並借助MATLAB 軟件對理論結（jié）果進行數值仿真，分別給出控製前、控製（zhì）後的分岔圖以及分岔周期解振幅( 極限環（huán）幅值) 隨參數變化的曲線圖．通過理論及仿真結果說明控製器的有效性．

1、係統分岔分析

在轉（zhuǎn）子磁場定向坐標係( d － q) 中，由電壓平衡（héng）方（fāng）程和轉矩平衡方程可得（dé）無刷直流（liú）電機狀態方（fāng）程為［2］

圖1 σ = 4，ρ = 10，係統( 2) 波形圖

圖（tú）2 σ = 4，ρ = 16 時，係統( 2) 分岔圖

2、係統Hopf 分岔控製

取σ = 4，用washout 濾波器控製的等效無刷直流電機（jī）受控係統如（rú）下

x1為washout 濾波器的輸入變量，c 為濾波器時間常數，c ＞ 0 時，為穩定的washout 濾波器，c ＜ 0 時（shí），為不穩定的washout 濾（lǜ）波器，現取（qǔ）控製器

2． 1 線性（xìng）控製部分對Hopf 分岔的影（yǐng）響

圖3 k1 = － 1，ρ = 16 時（shí），係統( 8) 波形圖

圖4 k1 = － 0． 1，ρ = 18． 3368 時，係（xì）統( 8) 分岔圖

圖5 k1 = － 0． 1，ρ = 18． 3368 時，係統( 8) 波形圖

圖6 k1 = 0． 1 時，ρ = 13． 9238 時，係統( 8) 分岔圖

2． 2 非線（xiàn）性控（kòng）製部分對Hopf 分岔的影響

當取c = 1，k1 = － 0． 1 時，ρ = 18． 3368．方程( 10) 中的線性和非線性部分分別為

圖7 當ρ = 18． 3368，k1 = -0． 1，k2 = -1． 5 時，係統⑻極限環

根據Hopf 分岔（chà）理論知，當Ｒe( C) ＜0，即（jí）k2 ＜－ 0． 347時，係統（tǒng）( 8) 在ρ =16 處發生超臨界Hopf 分（fèn）岔，即原係（xì）統Hopf 分岔類（lèi）型被改變，不穩定極限環變為穩定極限環，如圖7 －8 所示．取k1 = －0． 1，將λ 看成分岔參數ρ 的函數，方程( 11) 兩邊同時對ρ 求導，得

計算（suàn）得

α'( 0) = Ｒe( λ'( ρ) ) | ρ = 18． 3368，λ = 4． 4768i =0． 0445 ＞0所以，當Ｒe( C) ＜0 時，Hopf 分岔方向為ρ ＞16，如圖9 所示; 受控係統的極限環幅（fú）控關係如圖10 所示．從圖7，圖8 及（jí）圖10 中可（kě）知，控製（zhì）器的非線性部分能改變原係統的Hopf 分岔類型，並（bìng）且分岔極（jí）限環幅值隨著非線性控製參數（shù）的增（zēng）大而增大，成正（zhèng）比（bǐ）關係．

圖8 當ρ = 18． 3368，k1 = -0． 1，k2 = -0． 1 時，係統⑻極限環

圖9 k1 = -0． 1，k2 = -0． 06 時，係統⑻分岔（chà）圖

圖10 係統⑻的限極環幅值曲（qǔ）線ρ = 18

3、結論

文章主要研究了機床無刷直流電機（jī）係統的Hopf 分岔控製問題．首先，研究了係統的分岔行為並判定係統（tǒng）的Hopf 分岔類型; 然後設計Washout濾（lǜ）波器對係（xì）統進行分岔控製，討論了（le）控製參數對Hopf 分岔點位置，分岔類（lèi）型以及極限環幅值的影響; 並借助MATLAB 軟件對理論（lùn）結果進行數值仿真，理論結果和數值仿真表明: 線性控製（zhì）參數能使係統在所期（qī）望的參數值處（chù）發生Hopf 分岔，甚至消除Hopf 分岔，非線性控製（zhì）參數能改變原係（xì）統的分岔類型，使不穩定極限環變為穩（wěn）定極限環，並（bìng）能改變極（jí）限環幅值大小．研究結果對無（wú）刷直流電動機（jī）係統的工程實際具有一定的指導意義．

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