１　單（dān）對齒輪（lún）的齧（niè）合剛度模型

      本文主要考慮在輸（shū）入轉速和（hé）負（fù）載扭矩（jǔ）不變的條件下，輸出（chū）齒輪轉角（jiǎo）的變化情況。齧（niè）合剛度模型是一（yī）個最基本的齒輪副分析模型，隻考慮（lǜ）了齒輪副本身的影響因素，忽略了傳動軸（zhóu）的彎曲變（biàn）形、扭轉變形（xíng）和軸承的支撐剛度等。齒輪的齧合剛度分析模型（xíng）如圖１所示。

      其中，θｐ、θｇ分別為驅動齒輪、從動齒輪的扭轉位移（yí）；

      Ｒｐ、Ｒｇ分別為驅動齒（chǐ）輪、從動齒輪（lún）的基圓半徑；Ｔｇ、Ｔｐ分別為負載轉（zhuǎn）矩和輸入（rù）轉矩；Ｊｐ、Ｊｇ分別為驅動齒輪、從動（dòng）齒輪的轉動慣量；ｋｍ為輪齒的齧合綜合剛度（dù）；ｃｍ為輪齒的齧（niè）合阻尼。

      齒輪齧合剛度模型的建模條件是：驅動輪（lún）ｐ勻速轉動，負載扭矩（jǔ）Ｔｇ為恒定負載。假設在齧合線方向上齒輪的（de）相對位移（yí）為ｘ，則ｘ＝Ｒｐθｐ－Ｒｇθｇ。由於齒輪間的齧合力Ｆｋｍ＝ｃｍｘ　·＋ｋｍｘ，則Ｆｋｍ為：

      齒輪副的動力學方程為：

      ２　傳動鏈齧合（hé）剛（gāng）度動力學模型

      ２．１　直齒輪係統齧合剛度動（dòng）力學（xué）模型［１］

      在單對齒輪副齧合剛度分析模型的基礎之上（shàng），考慮了傳動軸的（de）扭轉剛度之後就（jiù）形成了直齒輪（lún）子係統的動力學模型，如圖２所示。其中（zhōng），Ｊ１２、Ｊ１３、Ｊ３３、Ｊ４２分別為各直齒輪的轉動慣量（liàng）；θ１２、θ１３、θ３３、θ４２分（fèn）別為各（gè）直齒輪的旋轉角；Ｔ１２為輸入端的驅動扭矩；Ｔ４２為輸出端（duān）的負載扭矩（jǔ）；ｃｎ為齒輪副的齧合阻尼；ｋｎ為（wéi）齒輪副的齧合剛度；ｋⅢ為Ⅲ軸的扭轉剛度。

      直齒輪係統分析模型的前提條件是：輸入（rù）齒輪為勻速旋轉運動，輸出負載扭矩為恒定負載。結（jié）合式（２）和牛頓力學理論，可以得（dé）到如下（xià）的微分方程組：

      其中：Ｒ１２、Ｒ１３、Ｒ３３、Ｒ４２分別（bié）為各直齒輪的基圓半徑。

      根據Ｌａｐｌａｃｅ變換對式（３）進行處理，得到關於變量ｓ的多元一次方程組，代入設（shè）計數據（數據保密），得出直齒輪子係統動力學模型（xíng）的轉角傳遞函數Ｇ４２為：

      其中：θ１２、θ４２分別是θ１２、θ４２的Ｌａｐｌａｃｅ變換。

      其中（zhōng）：ＲＳ、ＲＮ分別（bié）為（wéi）太陽輪（lún）和行星輪的基圓半（bàn）徑。

      （２）內齒圈（quān）與行星輪（lún）在齧合線方向上的相對位（wèi）移δＲＮ為：

       ２．２．２　齒輪（lún）齧合力的計算（suàn）

      （１）內齒圈與行星輪的齧合力ＦＲＮ為：

      將式（４）～式（８）代入到式（９）、式（１０）中，並轉化成方程組（zǔ）的形式為：

      式（１１）中的（de）變量為：ＴＣ，θＳ，θ１，θ２，θ３。由於θ１＝θ２＝θ３，故用θＮ來替代，使之滿足（zú）θＮ＝θ１＝θ２＝θ３。將
 

      式（１１）進行Ｌａｐｌａｃｅ變換，代入設計數據（數據保（bǎo）密）求得轉角傳遞函數ＧＣＳ：

      其中：θＣ、θＳ分別為θＣ、θＳ的Ｌａｐｌａｃｅ變換形式。

     ３　傳動鏈動力學總（zǒng）模型

      將前麵的直齒輪係統和行星差速器係統的動（dòng）力學模型進行綜合（hé），用（yòng）轉角傳遞（dì）函數來（lái）表示最終的動力學模型。由於這兩個子係統是串聯關係，因此總傳（chuán）動鏈模型的轉（zhuǎn）角傳遞函數為（wéi）：

      運用ＭＡＴＬＡＢ軟件對轉角傳遞函數進行單位斜坡響應分（fèn）析，得到的曲線如圖４、圖５所示（shì）。

      ４　結論

      由圖４、圖５可得出如下結論：①在齧合剛度影響下的傳動鏈轉角的（de）輸出曲線與輸（shū）入曲線（xiàn）之間存在著轉角誤差，這會（huì）影響該機床傳（chuán）動鏈的傳動精度（dù）和傳遞的準確性；②轉角（jiǎo）誤差響應曲線經過一定的震蕩後期後，穩定為一條水平的直線，這（zhè）表明齧合剛度影（yǐng）響下（xià）的傳動鏈轉角誤差是一（yī）個不隨時間變化的恒定；③齒輪的理論轉角相應曲線的斜率與齧合剛度模（mó）型下的轉角響應曲（qǔ）線斜率基本相同，說明齧合剛度對傳動（dòng）鏈的傳動比基本沒有影響。