摘（zhāi）要：機械臂（bì）軌跡規劃是機器人運動規劃領域中（zhōng）至關重要（yào）的經典研究方向之一。隨著機器人時代的到來，機械臂在工業製造中得到了（le）廣泛的應用，如何更好（hǎo）的利用機械臂的運動性能（néng），獲得運行時間較短或者消耗能量更少的運動軌（guǐ）跡成為人們關注（zhù）的重點。
    
       關鍵詞：軌跡規劃，動為學模型，時間最優（yōu），能量最優

        引言
 
        在最大化化器人係統的生產效率方（fāng）麵，時間最（zuì）優運動規劃一直是一個很重要的課題。一壟常用的求解最短時（shí）間的軌跡規劃方法通常隻（zhī）用到機器人的運動學模型，而沒有用到機器（qì）人的動力（lì）學（xué）模型，這（zhè）樣的規劃結果往往不能充分發揮機器（qì）人的潛力。
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        結合第二章介紹的機械臂動為學模型參數辨識方法，那麽可Ｗ辨識出機械臂的動力學模型，進而（ér）使用更為有效的基於機械臂（bì）動力學模型的軌跡規劃（huá）方法。本章采用了Ｖｅｒｓｃｈｅｕｒｅ［５６：ｉ等人提出的基於凸優化求解時間最優軌跡規劃方法，並在此基礎上添加了表示能量和力矩變化率的（de）代價函數，使得規劃軌跡（jì）更加易於機械臂的執行。
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        本章的組織結（jié）構（gòu）如下：３．２節介紹了基本基於力矩約束的時間最優軌（guǐ）跡規劃（huá）問題；３．３節闡述了（le）如何將基（jī）本時間最優問題轉化到凸優化（huà）控製問題；３．４節（jiē）對此凸優化控製問題進行（háng）拓展，添加額外的目標函數和約束條件；３．５節介紹了此凸優化控製問題的數（shù）值解法；３．６節（jiē）Ｗ六自由度機（jī）械臂為目標進行軌跡規劃，驗證此方法的有效性。
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       ３．２基本（běn）問題描（miáo）述
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       ｉｖ自由度機械（xiè）臂的動（dòng）為學運動模型可Ｗ表示（shì）為如（rú）式（２．１）所示的關節力矩Ｔ（s） ＂關於各關節角ｇｅ巧＂的函數。事實上機械（xiè）臂的軌跡規劃問題一般都是建立在己知路（lù）徑上的，對於關節空間中的路徑我們可Ｗ用t（ｓ）來表示，其中偽位移Ｓ是一維路爸坐標係。這個路（lù）徑坐標（biāo）係是（shì）由機械（xiè）臂末端在巧卡爾空間中移動（dòng）的路徑決定的，那麽軌跡的時（shí）間約束就可表示為坐標軸Ｓ和時間t的關（guān）係式S（t)為了不失一般性，可レ乂假設軌跡起始於（yú）於t＝０，結束於t＝T並滿足s(0)＝０＜５(t)＜１＝s（t)，除此之（zhī）外（wài），由於現（xiàn）在考慮的是時間（jiān）最優軌跡（jì）規劃及其相關問題，故對於t包含（0，T），可化為Ｓ（t）的上的毎一（yī）點都符合s（t）＞〇，並且在Ｓ（t）上的絕大多數點上都符合s（t）＞０。同時，對於給定的關節空間中的路徑ｇ（ｓ），關節的速度和加速度可（kě）Ｗ通過鏈式法則推（tuī）導得到：
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       那麽基於為（wéi）矩約東的時間最優軌跡規劃（huá）可用數學表達式來據述：

      
  
      
       
  
        基本時間（jiān）最優問（wèn）題到巧優化控（kòng）製（zhì）問題的變換
 
       對式（shì）口．７）這樣形式的非線性約束下的目標函數，是無法直接看出所得到的局部最優解是（shì）否就是全局最優解。而在ＳｈｍｅｒｆＷ這篇文章中，針對時間（jiān）能量最優運動規劃問題將式貨７）進行了特殊非線性變換，令其轉化為一個受非（fēi）線性狀態控製約（yuē）束，並包含線性係統動為學模型、狀態微分和控製輸入的最優控製問題，同（tóng）時證明（míng）了相對於控製輸入的漢密爾頓（dùn）函數（shù）是曲（qǔ）函數，進（jìn）而可レ乂（ài）證明擁有這（zhè）種結（jié）構的問題的局部（bù）最優解就是全局最優解，因此本（běn）文也對式（３．７）的一些變量（liàng）的進行（háng）非線性變換（huàn）。
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      首先，通過將原來得積分變（biàn）量＾變換為５，此時目標函數變為
  
     
  
    
  
      因此式巧．７）描述的問題可１＾＾被重構為一個凸問題
 
     
  
      式（３．１４）所描述的問題是田問題是因為所有的約束都是線性的，而目（mù）標函數是凸函數。
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      這個問題可Ｗ認為是代數微分形式的最優控製問題，它有著偽時間變量５，控製輸入ａ（ｓ），狀態微分６（３），代數形式的狀態ｒ（ｓ），線性係統的動態特性ｂ＇（ｓ）＝２ａ（ｓ）和（hé）與線性狀態相關的約東條件，Ｗ及初始狀態和終止狀態的約束 條（tiáo）件。
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     可以看到（dào）式（３．１４）僅（jǐn）僅隻有（yǒu）一（yī）個微分狀態，而代數形式的狀態可通過Ｔ（ｓ）＝ｍ（ｓ）ａ（ｓ）＋ｃ（ｓ）６（ｓ）＋ｇ（ｓ）消除，並且表示（shì）時間（jiān）的（de）變量ｔ不再顯（xiǎn）式的出現在方程（chéng）中（zhōng）。這種（zhǒng）問（wèn）題重構形式最大（dà）的價值在於：首先（xiān）其（qí）目標函數（shù）和約宋都轉變為了凸函數，所求得的局部最優解（jiě）即（jí）為全局最優解；其次（cì），可Ｗ很容易的添加（jiā）
目標函數和不等式約（yuē）束，而不（bú）改變（biàn）整（zhěng）個最優化控製問題的（de）凸性（xìng），這將在下麵的章節中（zhōng）進行討論；最後（hòu），利用數值方法可Ｗ非常有效的對這種表巧形式進行求解。
 
     ３．４擴展（zhǎn）的西優化控（kòng）製問題
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     在３．４．１節中介紹一些實用（yòng）的約束條件，在３．４．２節中本文提出了額外的目標函（hán）數，這些目標（biāo）函數的增加是為了使得規劃出來的（de）軌跡為矩變化較小，更加易於實際機械臂的執行，最後在３．４．３節中將這些目標函數和約宋結（jié）合（hé）起來，得到一個更加一般但仍能保持凸特性的最優化控製問題。
 
 
      ３．４．１其他不等式約束
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      除了各關節為矩約束，還有其他一些很有用的約束。
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     １．速度（dù）約束：一（yī）些特別（bié）的任務中（zhōng）可能要求加入速度（dù）限製，此時可（kě）Ｗ在第ｉ個關節上施（shī）加對稱的最小速度約束－和最大速度約束亮（５），其（qí）具體表達式如下所示：
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     加速度約束和速度約束類似，化（huà）可ｗ被（bèi）應用（yòng）在笛卡爾空間中的（de）加速度分量上，而不（bú）管是作用在關節空間中的加速度約宋還是作用在笛卡爾空間中的加速度約束都可Ｗ被寫成一個統一（yī）的形式（shì）：
  
    
 
     ３．４．２目標函數優化
 
     由於時間最優軌跡通常有著ｂａｎｇ－ｂａｎｇ特性，並不易於機械臂的執行（háng）。所Ｗ本文在這個基於凸優化的問題框架中添加一些其它（tā）目標函數，從而得到一條更加理想的、考慮其它準則（zé）的時間最優運動軌跡。
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     １．能量（liàng）消耗：
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     第關節力矩的（de）平方關於時間的積分可Ｗ表（biǎo）示為：
 
    
  
     這個目標函數表（biǎo）示的是驅（qū）動第ｉ個關節運動所消（xiāo）耗的能量，並且此函數是凸函數。
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     ２．為矩變化率絕對值的積（jī）分：
  
    
  
     因（yīn）為Ｎ是關於Ｅ的巧函數，所Ｗ式（３．２巧表示的目標函（hán）數也是凸函數。雖然這樣的目標函數並沒有比較（jiào）直觀（guān）的物理解釋，但是（shì）在最終的目標函（hán）數中包含這項可Ｗ減小關節為矩的（de）變化率。
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     ３．４．３廣義的時間最優問題
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     結合式口．７），式（３．２２）和式口（kǒu）．２３）所表示的目標函數與式（３．７），式口．１９）和式口．２１）所表示的巧（qiǎo）宋項，可Ｗ得到（dào）一個廣義的廣義最優控（kòng）製問題
  
    
  
     由於這個表適式中的目標函數和不等（děng）式約束（shù）都是凸的，而等式約束是線（xiàn）性的，所上述廣義時間最優問題還是凸的。
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     ３．５數值計算
 

  
     由於式（３．２９）描述的問題（tí）為凸，所Ｌ乂任何局部最優解也是全局最優的。因此（cǐ）可（kě）Ｗ任意（yì）選取一個非線性求解器來求解這個問題。本文采用的是ｍａｔｌ油中的ＹＡＬＭＩＰ王具箱進（jìn）行求解，這是一種可Ｗ求解高級優化問題工具箱，並且有多種求解器可供選擇。一旦求解出變量護的值，則可通過束（shù）解＊（ｓ）得到（dào）表示路徑（jìng）坐標（biāo）軸和時間的關係式Ｓ的，而＊（ｓ）的表達式如下所示：
  
     
  
     ３．６實驗與分析
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     本節在ＡＢＢ六軸工業機器（qì）人ＩＲＢ１２０上（如困３．４所示）實現基於凸優化的（de）時間最優軌（guǐ）跡規劃，３．６．１節介紹了實驗任務和目標路徑，３．６．２節說明（míng）了實驗結（jié）果。
  
    
  
     ３．６．１實驗任務說明
   
     本實驗是用ＩＲＢ１２０六軸工業機械臂執行複雜的書寫任務，書寫任務為在水平麵上寫出＂ＺＪＵ＂字樣（如圖３．５所示），書寫要求是盡可能快的（de）完成這一任務（wù）。
  
     
  
     為了實現基於動力學模型（xíng）的（de）最（zuì）優時間軌（guǐ）跡規劃，需要（yào）知道ＩＲＢ１２０六軸工業機械臂的動為學模型參數，由於本實驗室（shì）的ＩＲＢ１２０機械臂缺芝參（cān）數辨（biàn）識的條（tiáo）件（這在上一章有所介紹），故此處軌跡規劃使用的機械臂（bì）動力學模型參數是由ＡＢＢ麽司提供的。
 
     ３．６．２實驗（yàn）結果
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     根據３．５小節提出的數（shù）值計（jì）算（suàn）方法，可得（dé）到完（wán）成書寫（xiě）’’ＺＪＵ＂任務的最短時間為６．４巧（qiǎo）。如圖３．６所示的是完成這一任務的機械臂六個自（zì）由（yóu）度關節的驅動力矩曲線，可看到在任意一個時刻都有一個關節的驅動為矩是處於滿負荷運行的，由於第（dì）一關節總是承受這絕大部分的重力作用，所Ｗ其很（hěn）多時（shí）間都是（shì）處於最大力矩控製狀態（tài）是可Ｗ理解的。圖３．８表示的是時間最優軌跡規劃（huá）對應的位置和速度曲線，由速度曲線（xiàn）可レ乂看出規（guī）劃軌（guǐ）跡速度在很多地方都有（yǒu）尖角，這也符合控製為矩的突變。
  
     
  
    
  
     可見單純的時間最優軌跡規劃力矩變（biàn）化十分劇烈，這（zhè）種軌跡的執行會造（zào）成機械臂很大的負擔，並且在實際（jì）的機（jī）械臂上也是很難實現的，本章在凸優化框架基礎上加入的代表能量（liàng）消耗的目標函數和（hé）代表為矩變化率的目（mù）標函數就是為了解決這一問題。圖（tú）３．９表示的是考慮運動時間和能量消（xiāo）耗（hào）時的軌跡規劃結果（guǒ），可Ｗ看到運（yùn）動的（de）時間增大到１８．３ｓ而運動過程（chéng）中各關節最大輸出為矩顯著減小，同時根（gēn）據式（３．２４）可Ｗ通過（guò）增大（dà）Ａｉ的取值使（shǐ）得規劃出的軌跡（jì）的（de）能量消（xiāo）耗變（biàn）小。圖（tú）３．１０表（biǎo）示的是考慮運動時間（jiān）和為矩變化率的軌跡規劃結果，可Ｗ看到（dào）運（yùn）動（dòng）的時間增大到７．２ｓ而各關節力矩變化率降低了，同時根據式（３．２４）可Ｗ通過增大乂２的取值使得規劃出的軌跡的力矩變化率進一步（bù）減小。
  
    
  
     
  
     由於六自由度機械臂ＩＲＢ１２０並沒有提供力（lì）矩輸入的接口，本次實（shí）驗規劃出來的軌跡沒有在實際機械臂上運行，然而軌跡規劃（huá）的運動軌跡符合機械臂動為學（xué）橫（héng）型等一（yī）係列約束條件，故可（kě）認為規劃結果在實際機械臂上化是可行的。
  
    
  
     ３、 本章小結
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     本章介紹了用凸（tū）優化方（fāng）法求解時間最（zuì）優軌跡規劃問題，拓展了優化的目標函數（shù），考慮能量消耗和各關節為矩的變化率，使得得到（dào）的軌跡更加平滑，易於機（jī）械臂的實現。最後針對六自由（yóu）度機械臂ＩＲＢ１２０進（jìn）行了最優軌跡的規劃，驗證了算法的有效性。