高速（sù）電（diàn）主軸滾珠軸承-轉子係統 動態性能分析
2016-8-12 來源： 哈爾濱工業大學 作者： 張阿祺
轉軸和支承（chéng）軸承是電主（zhǔ）軸係統的核心元件，軸承的支承性能和轉軸的設計參數對係（xì）統的動態（tài）性能影響很大（dà），電主軸轉（zhuǎn）速高、功率大，是高速切（qiē）削（xuē）技術和高（gāo）速（sù）數控機床（chuáng）的主體（tǐ）和核心部（bù）件之一，很有必要對軸承的結構參數和電主軸的設計參數進行（háng）了（le）解。單純研究主軸轉子或單純研（yán）究軸承都不具有很大的（de）實際意義（yì），需要結（jié）合軸承和電主軸轉子為一體，綜合研（yán）究係統的動態性能，因此，對電主軸及其支承軸承的關（guān）鍵參數需要具體分析。角接觸球軸承的宏觀受力分析是基礎，但是本文還需要對軸承（chéng）微觀受力分析（xī）即分析軸承的內部受（shòu）力狀態，了解軸承中每一個球滾動體的受（shòu）力載荷，進而再了解軸承在外力作用（yòng）下的載荷是如何分配的。在靜載荷作用下的（de）軸承，或者是轉速很低的軸承，所受到的慣性力、摩擦力（lì）和力矩等不會對球滾動體間的載荷分配產生（shēng）明顯的影（yǐng）響，因而忽略部分微小影響因素（sù）來研究靜載荷作用下的球軸承。
2.1、主軸及其軸（zhóu）承的幾何結構
如圖 2-1，完（wán）整的電主軸係統主要（yào）包括：數（shù）控係統、潤滑係統、過濾調壓係統、油氣混合係統（tǒng）、冷卻係（xì）統、驅動係統和電主軸，本文主要研究電主軸的動態性能（néng）。
圖 2-1 完（wán）整（zhěng）的電主軸係統
高速電主軸的軸承（chéng）布局（jú）形式[43]影響著電主（zhǔ）軸係統的剛度（dù）和動態特性，所以選擇也要有的放矢，目前主要有兩（liǎng）種結構（gòu）形式，這是根據主軸的支（zhī）承軸承和內置電機相對位置的不同（tóng）來劃分的：
（1）電主軸（zhóu）的內置電機安裝在主軸轉（zhuǎn）子的後軸承之（zhī）後，也（yě）就是（shì）在兩個支承軸承的外部。這種結構布局使得電主軸的軸向尺（chǐ）寸（cùn）相對較大，對空間要求比較高，但有利於減少主軸前（qián）端的徑向尺寸、散熱快[44]，一般應用（yòng）在小高速數控機床上[45]；
（2）內置電機安裝在主軸轉子的兩個（gè）軸承（chéng）之間[46]，如圖 2-2 所示。這種結構具（jù）有很多優（yōu）點，現（xiàn）在的很多高速（sù）電主軸和高速數控機床都采用這（zhè）種布局形（xíng）式[47]。
本文主（zhǔ）要研究角接觸球軸承支承的電（diàn）主軸，角接觸球軸承不僅具有高製造精（jīng）度、高運轉穩定性、高極限轉速而且還擁有（yǒu）很強（qiáng）的（de）承載能力，是能夠高速化的滾動軸承中的最佳選（xuǎn）擇，在加工中心和各類機床（chuáng）得到廣泛（fàn）應用。
圖 2-2 高速電（diàn）主軸模型
圖2-3角接觸球軸承7218的幾何結構及參數
如圖2-4為（wéi）電主軸的剖麵圖，它包括前支承軸、後支承軸承、定（dìng）子、轉子、轉承、軸承預緊彈簧、前（qián）蓋、後蓋客體等組成。
表 2-1 角接觸球軸承 7218 的結構參數
圖（tú） 2-4 電主軸剖麵圖
考慮到本文所設計的高速電主軸的前端軸向尺寸不受限製，所以（yǐ）電主（zhǔ）軸的結構布局形式（shì）采用采（cǎi）用第二種結構布局方式，圖 2-2 和圖 2-4 為（wéi）此布局方式（shì）的電主軸（zhóu）幾何結構模型和剖麵圖。
本文前半部分通過使用角接觸球軸承（chéng） 7218 進行理論分析，得出結果與相關文獻[48,49]。相比較驗證程序（xù）的正（zhèng）確性。7218 相關幾何（hé）結構和參（cān）數見圖 2-3 和表（biǎo） 2-1。
2.2、球軸（zhóu）承支承的電主軸設計簡介（jiè）
滾動（dòng）軸承支承的電主軸轉速高、功（gōng）率大，是高速（sù）切削技術和高速數控機床的主體元件，相（xiàng）比傳統的機床主軸，電（diàn）主軸具有很多優點：
（1）傳統電主軸由於齒輪和帶輪等中間傳動裝置（zhì）在生產製造時存在一定的誤差，同時在安裝軸承，電主軸等部件時存（cún）在安裝（zhuāng）誤差，使得在電主軸高速運轉時會產生一定的影響，減小了主軸（zhóu）轉子係統的動（dòng）剛度，增加了軸承和主軸（zhóu）轉子係統的振（zhèn）動響應。使得機床的零（líng）件加工質量變差，加工精度降低。電主軸係統（tǒng）則沒有中間環節，零傳動的電主軸提高了零件的加工精度；
（2）零傳動這一突破性（xìng）的優勢，使得機床在很大程度上可以實現高速加工，提高生產率和加（jiā）工精度。電主軸的結（jié）構性能設計主（zhǔ）要需要確定電主（zhǔ）軸的 D，d，a，L 等主要結構參數。
2.2.1 電主軸平均直徑D
依照國內外的電主軸生產廠家、電主軸研製（zhì）機構、電主軸軸承研究所等相關（guān）部門的技術（shù）規範和參考資料，依據所選用的電機、軸承和相關的冷卻套等尺寸參數，再跟據《機械（xiè）工（gōng）程手冊》、《材料力學（xué）》、《機械工程（chéng）材料》等相關資料，按以下經驗公式計算：
式中P ——提供能源（yuán）的傳（chuán）輸的功率（W）；
T ——轉軸傳（chuán）遞（dì）的額定轉矩（ N m ），9550PTn ；
——轉軸的材料的許用切應力（MPa）；
n ——軸的轉速（r/min）；
y——主軸的內直徑與外直徑（jìng）之比， y d/ D 。
2.2.2 電主（zhǔ）軸前端懸置量 a 的初步選取
電主軸（zhóu）的前懸置（zhì）量 a 對（duì）主（zhǔ）軸（zhóu）的綜合總剛度矩陣、主軸的總體質量矩陣的影響很大，如果主軸的結構布局和主軸的空間占地大小允許的話，減小主軸軸端伸長量（liàng）有（yǒu）點於主軸的剛度的提（tí）升，應盡可能減（jiǎn）小主軸（zhóu）的軸端伸長量，以提高主軸的剛度，進而提高（gāo）電主軸（zhóu）的性能。
2.2.3 主軸支承（chéng）最佳跨距（jù） L 設 l0為主（zhǔ）軸支承（chéng）軸承的最（zuì）佳支承跨距，該跨（kuà）距值符合主軸前端最小靜（jìng）撓度（dù）條件（jiàn），是主軸（zhóu）在剛度、結構性能和主軸軸（zhóu）向（xiàng）尺寸大小的最佳取（qǔ）舍。
在外載荷 R 作用下電主軸的軸端位移變量為：
式中zy ——假設彈性軸承支承時，剛性主軸軸（zhóu）端位移（yí）（mm）；
sy ——假設剛性（xìng）軸承支（zhī）承吋，彈性體主軸（zhóu）軸端位（wèi）移（mm）。
根據材料力學梁的撓度公式：
式中E——主軸材料的彈性模（mó）量（Mpa）；
I——主軸截麵的平均慣量距（ mm4），當主軸的內孔直徑為 d，平均直徑為 D 時，公（gōng）式1
由幾何關係可得：
假設前軸承和後支承的支反力分別為 F1、F2，其對應剛度為 K1、K2，則（zé）對應的變形可表示為：
由力平（píng）衡條件可得（dé）：
由式（2-2）、（2-3）、（2-4）可得：
2.3、球軸承宏（hóng）觀幾何關係
2.3.1 靜載荷作用下的支承軸承
根據（jù）滾動體和滾道接觸的載荷-位移關（guān）係（xì）【47】，可知徑向載（zǎi）荷（hé）作用下的角接觸球軸承：
式中δr ——徑向位移（mm）；
dP ——徑向遊隙（mm）。
若無（wú）徑向遊隙（xì）時，單列（liè）軸承為（wéi）了保（bǎo）持靜力平衡（héng），在各個方向上的球滾動體所受力之和與該方向上的作（zuò）用載荷平衡，此時徑向載荷的離（lí）散形式可表示為：
徑（jìng）向載荷的積分形式（shì）可表（biǎo）示為：
式（shì）中rJ(ε ) ——徑向載荷積分係數。
利用這些積分式可計算載荷：
如圖 2-6，在推力載（zǎi）荷作用下的角接觸球軸（zhóu）承會產生變化，產生一個軸向的位移，根據變形幾何關係可得：
由式（2-19）和式（2-20）可得：
圖 2-6 向心球軸承內（nèi）外圈移動引起的球-滾道接觸
式中 B ——接觸體總曲率， 1o iB = f + f - ；
2.3.2 Hertz 接觸
100 多年前（qián） Hertz 通過（guò）簡化和假設建立了研（yán）究兩（liǎng）個彈性體的空間接觸理論模型，首次對接觸麵附近的彈性變形使用準靜態理論，並且應用於兩（liǎng）球形體表麵（miàn）的接觸中[50]。在分析中，Hertz 提出以下（xià）假設：
（1） 所有（yǒu）變形都在材料的彈性比例極（jí）限範圍（wéi）內；
（2） 忽略表（biǎo）麵切應力的（de）影響，且（qiě）載荷垂直於接觸（chù）表麵；
（3） 接觸區域的曲率（lǜ）半徑遠大（dà）於接（jiē）觸區域的尺寸；
（4） 接觸區域的尺寸遠小於接觸體的曲率半徑。
赫茲理論為堅硬緊湊的物體之（zhī）間的碰撞提供（gòng）了一（yī）個很好的（de）近似值，不過理論成立的條件之一是接觸區域比起碰撞體本身非常小。應用此模型假設，得到了相對（duì）精確的計算結果，就算（suàn）是現在 Hertz 理論也是計算局（jú）部（bù）接觸應力的主要方法。如圖 2-7，兩個彈性球接觸時接（jiē）觸（chù）區域為橢（tuǒ）圓形，圖（tú） 2-8 為球軸承幾何關係（xì）球滾動體（tǐ）和（hé）凹麵體的接觸模型。
說到橢圓就必須講曲率，曲率在（zài）物（wù）理上講是用來描述線或麵彎曲程度的一個（gè）量（liàng），一般取它的絕對值表示。正負曲（qǔ）率應該是一個相對含義，與法線的取向有關。一般規定：凹麵的（de）曲（qǔ）率為負值，凸麵的曲率為正值。曲率按定義分為曲率和，曲率差，這樣就可以將兩個物體的接觸轉化為一個等效橢球體與等效半平麵之間的接觸。凹麵（miàn）使接觸體更加貼近，而凸麵（miàn）正好相反。
接觸體的曲率和函數可表示（shì）為（wéi）：
式中1、2——滾動（dòng）體在平麵 1 和平麵 2 的曲率半徑（jìng）；
1、2——內外圈（quān）在平麵 1 和平麵 2 的曲率半徑。
根據赫茲理論模型，軸承滾動（dòng）體曲率差函數為：
對於球（qiú）滾動體在平麵 1 和平麵 2 上皆為凸麵：
對外（wài）滾道而言（外（wài）圈兩個截麵皆為凹麵）：
所以，球滾動（dòng）體與外圈之間的（de）曲率差函數為：
同理，球滾動體與內滾道（dào）之間的關係（內圈有（yǒu）一截麵為（wéi）凸，有一截麵為凹）：
根據 Hertz 理論模型（xíng），曲率差函數是橢圓參數 a，b 的函數：
對於（yú）鋼材接（jiē）觸體，其接觸橢圓的長半軸a 和短半軸b 以及接觸體遠控點相對趨（qū）近量分別為：
2.4 球軸承的微觀幾何關係
2.4.1 靜（jìng）載荷作用（yòng）下軸承（chéng）內部的變形和位移
如圖 2-9 所示，根據幾何變形條件可得內外滾道溝曲率中心的距離為：
圖 2-9 球軸（zhóu）承曲率中心軌跡（jì） 圖 2-10 聯合作用載荷下內圈的位移
2.4.2 靜態各聯合載荷作用下的軸承位移
靜態載荷作用下由於陀螺力矩和離（lí）心力的影響非常（cháng）小忽略不計，所以軸承（chéng）變形位（wèi）移不（bú）會很複（fù）雜。
如圖 2-11 所示，軸向載荷與軸承變形（xíng）位移的關係圖中可以看出，在軸（zhóu）承軸向載荷的（de）作用下，隨著載荷的增加軸承（chéng）的軸向位移逐漸增加，呈現（xiàn）正相關關係，而軸承（chéng）的徑向位移和角位移有所減小（xiǎo）。在圖 2-12 中，微弱的徑向載荷作用下，軸承的（de）各個方向的位（wèi）移變形量基（jī）本（běn）沒有變，剛（gāng）度也基本（běn）不變。
圖 2-11 軸向載荷與軸承變形位移關係
圖 2-12 徑向載荷與軸承變形位移的關係
2.5、本章小結
本章（zhāng）分析了高速電主軸的幾何結（jié）構參數及其支撐軸承參數為後（hòu）續電主軸的性能分析奠定（dìng）了基礎。分析了以角接（jiē）觸球軸承的宏（hóng）觀幾何形狀模型，再利用軸承的微觀幾何（hé）關係和微觀受力狀態，計算出了軸承應（yīng）用中的內部載（zǎi）荷及其關係。但是必須（xū）知道的是，這些方法的適（shì）用範（fàn）圍（wéi）仍然是低、中速運轉的角接（jiē）觸球軸承。在靜載荷作用下的軸承（chéng），或者是轉速很低的軸承，所受到的慣性（xìng）力、摩擦（cā）力和力矩等不會對球滾動體間的（de）載荷（hé）分配產生明顯的影（yǐng）響，因而忽略部分微小影響因素來研（yán）究靜（jìng）載荷作用下的球軸承。雖然如（rú）此，這些計算還是很有必（bì）要的，本章得到（dào）的數值可以作為下一章節的高速運轉（zhuǎn）下的球軸承複雜的數（shù）值計（jì）算提供初始參考值，為高速球軸（zhóu）承的動力學分析奠定了基礎。
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