高速（sù）電主軸滾珠軸承-轉子係（xì）統 動態性能分（fèn）析
2016-8-15 來源：哈爾濱工業大學 作（zuò）者：張阿祺
在高轉（zhuǎn）速（sù）運轉下，由於球滾動體繞自身軸線會轉動並且（qiě）繞軸承軸線也有轉動，這時球滾動體不是簡單（dān）的單一（yī）運動，而是產生滾動和滑動結合的複合運動，球滾動體的陀螺力矩、摩擦力和相應的離心力值通常會很（hěn）大，摩（mó）擦力會受到較大的影響，使（shǐ）得外滾道發生了比較（jiào）大（dà）的變形，使球滾動體的內部載荷（hé）分布發生變化。高速角接觸球軸承（chéng）動力學求解（jiě）的關鍵是內外圈（quān）與滾動體的接觸角，所有的動力（lì）分析都跟接觸角有關，所有求解的（de）關鍵也必然是（shì）接觸角。
3.1 高速狀態（tài）下的滾動體運動狀態分析
3.1.1 軸承中的坐標係
如（rú）圖 3-1 所示，以角接觸球軸承繞 x 軸高速旋轉的某個球滾動體為質（zhì）點，建立了三個坐標係：
圖 3-1 軸承各坐標軸及其關（guān）係
（1）x，y,z 軸承固定（dìng）坐標係，x 軸的（de）方向與軸（zhóu）承（chéng）旋轉軸的方向一致；
（2）x’，y’，z’滾珠隨動坐標係，x’軸與 x 軸（zhóu）平行，原點 O’為滾珠球心且繞x 軸以（yǐ）軌道（dào）速度旋轉，旋轉半徑為md/ 2 ;
（3) U，V，W 以 O’為原點並以軌道速度繞 x 軸旋轉，以滾珠自身旋轉軸為 U 軸， W 軸位於 U 軸與 z’的平麵內，W 與 z’的夾角為 β。
根據內圈溝道理（lǐ）論，軸承外圈相對固（gù）定，內圈以角速（sù）度為做（zuò）勻速運動時，軸承轉速為：
3.1.2 忽（hū）略（luè）陀螺樞軸運（yùn）動滾動體的（de）自轉和公轉運動
球滾動（dòng）體的自轉運動，高速狀態下（xià），主軸軸承滾動體繞自身軸線 O’U 作自轉運動：
球滾動體的公轉運動（dòng），主軸（zhóu）軸（zhóu）承內部（bù）球滾動體繞軸承中心線 OX 軸作公（gōng）轉運（yùn）動時，其角速度等於保持架的角速度，大小為：
3.1.3 忽略（luè）陀螺樞軸運動滾動體的自旋運動（dòng）及旋滾比
滾珠的（de）自旋（xuán）運動（非控製溝道即內圈溝道存在自旋運動），本文（wén）是以外（wài）圈溝道為控製溝道的高速電主軸軸承，跟其他理論體係認為存在複合運（yùn）動的情況不一樣，外圈溝道控製理論認為外圈滾道隻作純滾動，並（bìng）不存在自旋運動，從而簡化了研究對象，內圈溝道既作滾動運動又繞接觸麵法線做自旋運動（dòng）：
內圈溝道的旋滾比為：
由式（3-6）、（3-7）、（3-38）得內圈溝道的旋滾比（bǐ）為：
3.2 高速狀態下滾動體的受力狀態分析
3.2.1 離心力
高速運轉狀態下的軸承內（nèi）部滾動體會受到比較大的離心力作用：
3.2.2 陀螺力矩和摩擦力
由於主軸軸承運轉（zhuǎn）時，其內部球滾動體（tǐ）會發生自轉，使得（dé）軸承的自（zì）身軸線 O’U會不斷地改變方向，並產生陀螺運動趨勢，陀螺力矩將被球軸承滾道（dào）上的摩擦力（lì）所阻止。陀螺力矩可表示為：
根據外圈溝道控製理論和力平衡條件，外圈的滑動摩擦力應與陀螺力矩平衡：
3.3 軸承內部的變形和位移（yí）
3.3.1 預載荷引起軸承滾珠的變形和位移
一般軸承會施加（jiā）一定（dìng）的（de）預載荷來提高軸（zhóu）承抵消外力載荷（hé）的能力，保證（zhèng）軸承係統（tǒng）的支承動態（tài）穩定性，即提（tí）高軸承（chéng）的（de）動剛度，從而提升軸承的性能（néng）。但是預緊載荷不能過大（dà），因為過量的（de）預載荷會引起摩擦力矩的（de）增（zēng）加導致軸承發（fā）熱過大而影響軸承的使用壽命。軸向預載荷與軸承（chéng）工作角的關係（xì）：
3.3.2 高速狀態下軸承的內部變形和位移
由於球滾動體（tǐ）繞自身軸（zhóu）線和軸承軸線都（dōu）在做旋轉運動（dòng），所以會產生慣性載荷和離心力[5]。在低速（sù）狀態下這些慣性載荷比外載荷小得多，可以忽略不計，但是在高速狀態下，軸承內（nèi）圈圈滾道曲率中心（xīn）的初始位移為：
根據內、外圈（quān）的（de）相對軸向位移、相對徑向位移和相對角（jiǎo）位移可以求出內、外圈溝道曲率（lǜ）中心軌跡的軸向距離和徑向距離（lí）分別為：
由圖 3-2 可以得出各個參數之間的關係：
根據勾股定理和相應滾道接觸變形（xíng）的幾何協調條件：
圖 3-2 載荷作（zuò）用前後（hòu）角位（wèi）置Φ 處球中心和溝（gōu）道曲率中（zhōng）心的位置關係
3.4 高速狀態下軸（zhóu）承的（de）受力（lì）方程和基本方程組
3.4.1 球滾動（dòng）體受力的平衡方程組
根據高速電主（zhǔ）軸運行的實際情況，外溝道控製基本成立，滾動體的陀螺力矩（jǔ）完全被球-外溝道接觸區的摩擦力所阻止。滾動體所受載荷的關係如圖 3-3 所示，那麽可得到水平和垂直方向（xiàng）的軸承內部受力平衡方程組：
圖 3-3 角位置Ψ處球滾動體所受載荷（hé）
3.4.2 軸（zhóu）承受力（lì）的（de）平衡（héng）方程組
軸承在軸向、徑向和繞軸線轉動方向受力平衡（héng），則整個軸承的平衡條（tiáo）件：
3.5 軸承方程（chéng）組的求解和動力學狀態分（fèn）析
3.5.1 軸承方程組的求解優化及其流（liú）程圖
由式（3-27）、（3-29）得：
很多文獻包括 Harris，都是應用 Newton-raphson 迭代法進行（háng）求解 4Z+1 個方程組，這個（gè）方法用於求解低數量方程（chéng）組成的方程組效率挺高的（de），但是求解多個方程組成的方程組會出現很大的問（wèn）題，甚至無法（fǎ）收斂。Newton 法（fǎ）存在的缺陷主要有：
（1）需求解 N2個導數值；
（2）對（duì）初值要求很高；
（3）需對 Jacobi 矩陣求逆，而此非線性方程（chéng）組的 Jacobi 矩陣可（kě）能是病態的。
通過此法求解軸承非線性方程，很容易造成（chéng）不收斂或者求解時間過長，並且初值是由靜態值求得的，精度很低，很難滿足 Newton 法的要求。
采用逆 Broyden 秩 1 法的主要優點有：
（1）隻需求解 N2個算數運算；
（2）無需（xū）求（qiú）解 Jacobi 矩陣的（de）逆。
圖 3-6 高速球軸承動力學狀態分析程序流程（chéng）圖
（2）通過優化求解方（fāng）程組（zǔ），最後高速球軸承動力學狀態分（fèn）析流程如圖 3-6 所示，利用此程序流程（chéng）圖編寫 MATLAB 程序，求解軸承（chéng）方程（chéng）組，並得到如表 3-1 所示數據。當 n=10000 r/min，Fa=20000 N，Fr=0 N 時（shí），本（běn）文（wén）結果通過和（hé） Harris結（jié）果對比基本一致，Harris 結果是在一定的實驗基礎上得到的，說明所編製程序求（qiú）得的結果在誤差範圍內符合實際結果。
表 3-1 球（qiú）軸承 7218 內部動力學狀態（tài）對比
3.5.2 預載荷對軸承（chéng）初（chū）始量的影響
對軸承施加（jiā）預載荷在一定程度上能使（shǐ）軸承的剛度增加，減少噪音並提高軸（zhóu）承的工作精度，但是預載荷過大則降低軸承（chéng）的使用壽命，過小則得不到預（yù）期的效果。
圖 3-4 預載荷與實（shí）際接觸角的關係
圖 3-5 預（yù）載荷（hé）與軸承（chéng）初始位移的關係
（1）預載荷對軸承實際接觸角的影響（xiǎng）如圖 3-4，當增大預載荷時，軸承的實際接（jiē）觸角（jiǎo）隨之變大，但是增加（jiā）的趨勢變小，即斜率變小，所以在施加預（yù）載（zǎi）荷時應控製其大（dà）小（xiǎo），以（yǐ）免軸承的工作接觸角過大，使得摩擦力增（zēng）加，進而影響軸（zhóu）承壽（shòu）命。
（2）預載荷對軸承初始位移的影響（xiǎng）如圖 3-5，當增大預載荷時，軸（zhóu）承初始位移也隨之（zhī）增大，但是趨勢在一定程度上減小。由（yóu）式（3-46）結合圖 3-5 可以得出（chū），命產生（shēng）影響。
3.5.3 轉速對軸承動態性能的影響
軸承轉速對軸承動態性（xìng）能有很大（dà）的影響，它是衡量軸承性能的重要參（cān）數。軸承轉速越高，主軸機床的加工性能越好，但是軸（zhóu）承轉速越高，其對軸承內部動力學特性影響越（yuè）大。轉速（sù） n 引起了軸承滾動（dòng）體的離心力和陀螺力矩（jǔ）的變化，也改變了軸承滾動體在滾道上的實際接觸（chù）角，實際的滾道（dào）接觸載荷等（děng）軸（zhóu）承內部動力學量（liàng）。
（1）轉速對軸承滾（gǔn）道實際接觸角的影響如圖 3-7，主軸軸承在（zài）高速狀（zhuàng）態時，由於（yú）滾動（dòng）體的離心力和陀螺力矩的影響，滾動體會遠離內圈趨向外圈，使得內圈接（jiē）觸角增大而外圈接觸（chù）角減小。轉速越高，滾動體的內外圈實際接觸角的值相差越（yuè）大。
圖 3-7 轉速與滾（gǔn）道接觸角的關係
圖 3-8 轉速與滾道接（jiē）觸載荷的關係
（2）轉速對軸承接觸（chù）載荷和接觸應（yīng）力的影響如圖 3-8 和圖 3-9，主軸軸承在高（gāo）速運轉時，其（qí）滾動體在（zài）內圈接觸載荷和接觸（chù）應（yīng）力在（zài）減小，減小幅度較小；在外圈滾（gǔn）道上（shàng）接觸載荷和接觸應力在增大，在轉速超過 10000r/min 時變化幅度很大。在轉速超過 15000r/min 時內外（wài）圈（quān）的接觸載（zǎi）荷和接（jiē）觸相差很大，對軸承性能產生很大的影響。
（3）如（rú）圖 3-10 轉（zhuǎn）速（sù）對軸承接觸位移（yí）的影響，轉（zhuǎn）速提高時，軸承（chéng）的軸向（xiàng）位移減小，而且減小（xiǎo）趨勢變快，由於 Fa不變，軸向位移減小，所以此時軸承的（de）軸（zhóu）向剛（gāng）度稍微（wēi）變大，對軸承性能產（chǎn）生有益的一麵（miàn）。但是這個影響有限，需要我（wǒ）們權衡利弊。
（4）轉速對離心（xīn）力、陀螺力（lì）矩的影響如圖 3-11 和圖 3-12 所示，高速狀態球軸承隨著轉速的提高，軸（zhóu）承球滾動離心力體會隨之增加達到了相當大的值，陀螺力矩也是一樣（yàng）的。離心力是球滾動體的慣（guàn）性特性引起（qǐ）的，這時已經成（chéng）為影響軸承內部動力學狀態的（de）主要因素（sù），而由於陀螺力（lì）矩是由外圈摩擦力來抵（dǐ）消的，其值（zhí）過大將使外圈摩擦力增大，發熱（rè）變大，進而影響軸承動態性能。
圖 3-9 轉速與內外圈最大（dà）接觸（chù）應力的關係
圖 3-10 轉速與軸向位移的關係
圖 3-11 轉（zhuǎn）速與離心力的關係
圖 3-12 轉速與陀（tuó）螺力矩的關係
（5）從圖 3-13 可以看出（chū）轉速對旋滾比的影響，隨著轉速的提高，軸承滾動體在內圈的旋滾比迅速增加，使得球與（yǔ）內圈滾道的滑動摩（mó）擦增加進（jìn）而發熱加劇，嚴重影（yǐng）響軸承的（de）正常工作降低軸承的疲勞（láo）壽命。
圖 3-13 轉速與內圈旋滾比（bǐ）的關係
圖 3-14 轉速與軸承內外圈疲勞壽命的關係
（6）轉速對軸（zhóu）承內外圈的疲勞壽命的影響（xiǎng）如圖 3-14，隨著轉速的提高，內圈疲勞（láo）壽命不斷增加，而外圈的疲（pí）勞壽命卻劇烈降低，這是因為轉（zhuǎn）速增加後內圈的接觸載荷和接觸（chù）應力在減小，而外圈卻大幅增加的關係（xì）。
3.5.4 不同轉速下的推（tuī）力作用載荷對軸承動態性能的影響
本文設計主要針對高速主軸所受（shòu）軸向（xiàng）力影響，徑向（xiàng）載荷和傾覆載荷都比較小，可以忽略。同（tóng）時軸承處於穩定工作環境下，軸（zhóu）向載荷（hé）受（shòu）的衝擊很小很平穩。
圖 3-15 推力作用載荷與接觸角（jiǎo）的關係
（1）推力作用載荷對滾道實際接觸角的影響如圖 3-15，當推力作用載荷變大時，軸（zhóu）承的內（nèi）圈接觸角減小，外圈接觸角變大。低速時推力作用載（zǎi）荷對接觸角的影響較小，高速時（shí）接觸角變化率很大，接觸（chù）角（jiǎo）趨向接（jiē）近初（chū）始接觸角（jiǎo），對（duì）軸（zhóu）承性能有一定的影響。
（2）推力作用（yòng）載荷（hé）對滾道接觸載荷的影響如圖 3-16，隨著推力作用載荷的增加（jiā），軸承內外圈（quān）接觸載（zǎi）荷會隨之增加，對軸承的運轉和壽（shòu）命產生不利的影響（xiǎng）。其中在轉速為 15000 r/min 時（shí）外圈接觸載荷在低速時受推力作用載荷影響不大，因為這時（shí）主要受高速轉速的影響。而在（zài）較低速和高速內（nèi）圈的（de）接觸載荷受推力作用載荷的影響較大而且基本上（shàng）成正比例關係。
（3）推力作用載荷對內外圈接觸應力的影響（xiǎng）如圖 3-17，隨著載荷的增加，軸（zhóu）承內外圈滾道（dào）接觸應力隨（suí）之增加，這跟推力作用（yòng）載荷影響內外圈接觸載荷（hé）的情形基（jī）本相同，這裏不再重複敘述。接觸（chù）應力的大小會影響（xiǎng）軸承的疲勞壽命。
（4）推（tuī）力（lì）作用載荷對軸向（xiàng）位（wèi）移的影響如圖 3-18 所示，隨著軸承推力（lì）作用載荷的增加，軸承的軸向位移也在不斷的增（zēng）加，但（dàn）是增加的趨勢在明顯的減小。由公式（3-41）可知。軸承的（de）剛度也在隨著增加，其中當轉速等於 15000 r/min 時，軸承的剛度（dù）增加得（dé）最快。而在低速時軸（zhóu）承的（de）剛度基本不變。
圖 3-16 推力作用載荷與滾道（dào）接觸載荷的關係
（5）推（tuī）力作（zuò）用載荷（hé）對離心力的影響如圖 3-19，在低速時軸（zhóu）承滾動體的離心力基本不受推力（lì）作用載荷的影響，而在轉速超過 15000 r/min 時（shí）離心力隨著推力作用載荷的增大而減小，這是因為推力作用載荷影響了工作（zuò）接觸角進而影響滾珠公轉轉速（sù）的關係（xì）。
（6）推（tuī）力作（zuò）用載（zǎi）荷對陀螺力矩的影響如圖 3-20 所示，在低速時軸承滾動體的陀（tuó）螺力矩（jǔ）基本不受推力作用載荷的影（yǐng）響，而在轉速超過 15000 r/min 時陀螺力矩隨著推力作用載荷的增大而增大，這是因為推力作用載荷影響了（le）工作接觸角（jiǎo）進而影響滾珠公轉和自轉轉速的關係。由（yóu）於陀螺力矩是由外圈摩擦力抵消的，其值不（bú）能超過外（wài）圈動摩擦力，不然假設不成立。
（7）推力作用載（zǎi）荷對旋滾比的（de）影響如圖 3-21 所（suǒ）示，隨（suí）著推力作用載荷的提高，軸承滾動體在（zài）內圈的旋滾比有所降低，球（qiú）與（yǔ）內（nèi）圈滾道的滑動摩擦減少（shǎo）。此外，在低轉速時推力作用載荷對旋滾比基本沒有影響。
圖 3-18 推力作用載荷與軸向位移的關係
圖 3-19 推力（lì）作用載荷與離心（xīn）力的關係
圖 3-20 推力作用載（zǎi）荷與陀螺力（lì）矩的關係
圖 3-21 推力作（zuò）用載荷（hé）與旋滾比（bǐ）的關係（xì）
3.6 本章小（xiǎo）結（jié）
本章（zhāng）通過對（duì）高速角接觸球軸承的分析得出（chū）以下結論：
（1）同樣大小的高轉速運轉下，一定程度的預載荷通過對軸（zhóu）承的位（wèi）移和滾動體與內（nèi）外滾道的接觸角（jiǎo）的影響，提高軸承的動剛度，有利於軸承動態性能的提升。
（2）通過轉速、推力（lì）作用載荷對離心力、旋（xuán）滾比和（hé）陀螺力矩等動力學量的影響分析，可以看（kàn）出高轉速（sù）和不同的（de）推力作（zuò）用載荷引起（qǐ）了軸承滾動體運動狀態的巨大變化，軸承滾（gǔn）動體在滾道（dào）上的（de）實際接觸角和實際的滾道接觸載荷也發生很大的（de）變化，從而改變了軸承的動剛度等動力學性能。最後也會對後麵電主（zhǔ）軸軸承-轉子係統的動態性能研究產生較大的影響。
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