高速電主軸滾珠軸承-轉子係統 動態性能分析
2016-8-17 來源： 哈爾濱工業大學 作者：張阿祺
電主軸轉子-軸承係統的動態性能研究的主要內容是分析轉子-軸承係統的固有頻率、臨界轉速和振動響應。不平衡響應是高速電主軸轉（zhuǎn）子-軸承係統振動的主（zhǔ）要表現之一（yī），它主要是由轉子軸端不（bú）平衡質量產生離心力所產生的，並受係統的其他因素影響。
影響轉子-軸承（chéng）係統（tǒng）動（dòng）態性能（néng）的因（yīn）素很多，比如軸向預載荷、軸向（xiàng）外載荷和（hé）徑向外載荷、球軸（zhóu）承滾動體的數量及直徑、球滾動體（tǐ）的材料、初始設計接觸角、套圈（quān）的滾道曲率半徑、主軸係統的轉速等對角接觸球軸承的動剛度（dù）產生比較大的影響，進而影響係統的動態性能，屬（shǔ）於影響球軸承動剛度間（jiān）接影響係統性能。此外，還有主軸上（shàng）的許多影（yǐng）響（xiǎng）因（yīn）素，比如電主軸空心轉子內孔直徑、軸承之間的支承跨距、軸承（chéng）的（de）配置形式、軸承的數量、內裝電機轉子的外徑、內裝電機轉動長度、主軸軸端不平衡質量、轉子的外（wài）伸長度（dù）等因素。因而，球軸承支承的轉子係統的（de）動態性能分析是非常複雜的，通過分析各個因素相互影響、交錯迭代得到相（xiàng）關數據。本章主要分析轉速、軸端不平衡質量、預載荷、軸承支承（chéng）跨距、轉子（zǐ）外（wài）伸長度等對轉子-軸承係統的（de）動（dòng）態性能產生的（de）影響（xiǎng）。
4.1、電主軸滾動（dòng）軸承-轉子動（dòng）力學係統模型
如圖 4-1 中對電主軸（zhóu）的轉子部分進行（háng）離散（sàn）化（huà）處理，建立（lì）滾動軸（zhóu）承-轉子係統的有限元動（dòng）力學模型，將主軸劃分為 N 個節點、（N-1）個單元。利用（yòng）有限元基本理論以及高速電主軸（zhóu）滾（gǔn）軸軸承-轉子係統的受力變（biàn）形特點（diǎn），將電主軸主軸單元視為梁類零件（jiàn）的橫向彎曲振動模型為基礎（chǔ），建立有限元模（mó）型。根據有限元劃（huá）分基（jī）本原則將主（zhǔ）軸轉子（zǐ）劃分為 N=22 節點，21 個單元，並將質量集中於每個單元的兩個節點上。
圖 4-1 轉子有限元劃分圖
4.2、轉子-軸承（chéng）係統的運動微分方程的（de）分析
一般旋轉機械的轉子係統是根（gēn）據梁的（de）橫向彎曲振動（dòng），高速電（diàn）主軸潤滑性能很好忽略其阻尼（ní）作用，高速電（diàn）主（zhǔ）軸轉（zhuǎn）子-軸承係統也采用通用的（de）微分方程方程式表示：
XM+KX=F (4-1)
式中 K ——總體剛度（dù）矩（jǔ）陣；
M ——總體質量矩陣；
F ——總體外載荷列向量；
X ——總體位移（yí）向量。
4.2.1 單元剛（gāng）度矩陣及總體剛度矩陣
考慮軸向（xiàng）位移的梁類零件（jiàn）的有限元分析，視電主軸（zhóu）振動（dòng）模（mó）型為（wéi）梁類零件的橫向彎曲振動模型（xíng），其 i 單元的單元剛度矩陣為：
在總體剛度（dù）矩陣相應元素中按對號入（rù）座方法疊加入上式主軸軸承（chéng）支承剛度矩（jǔ）陣，即可得到整（zhěng）個轉子-軸承係統 3N 階實對（duì）稱總體剛度矩陣（zhèn）：
如圖 4-2 為簡（jiǎn）化模型，對於節點 N=3 的轉子（zǐ）-軸承係（xì）統，有 2 個單元，按照有限元方法的剛（gāng）度矩陣求法不（bú）難（nán）表示出矩陣的形（xíng）式，兩個梁單（dān）元的剛度矩陣最（zuì）終可分（fèn）別（bié）表（biǎo）示為：
在節點 1 和節點 3 處各有一套角接觸球軸承，其對應（yīng）的單元 1 和單元 2 的軸承支承剛度分別為：
應用有限元的對號入座（zuò）法（fǎ），將軸（zhóu）承的動剛度組裝入係統的總（zǒng）體剛度矩陣中，可得（dé）最終轉子係統的總體剛度矩陣為：
4.2.2 單元質量矩陣及總體質量（liàng）矩陣
按照集中質量（liàng）法，將單元的質（zhì）量集中（zhōng）到兩個（gè）端麵，單元內部的質量為零，並按照質量守恒（héng）可以（yǐ）得出單元（yuán）質量矩陣，梁單元總質量矩陣為實對稱 6 階矩陣，公式可表示為：
總附（fù）加零件質量矩陣包括大質量塊矩陣和空心軸筒的質量矩陣，大質量塊（kuài）可將（jiāng）其質量集中為 mc，空心軸筒可將質（zhì）量集中於兩端，則單元 i 上（shàng）的總附加零件質量矩陣為：
與前麵係統總體剛度矩陣（zhèn）的組裝（zhuāng）方式類似，轉子-軸承係統的總體質量矩陣為：
同樣，對於 N=3 的（de）轉子-軸承係統，有 2 個單元，則兩個梁單元的總質量矩陣可分別表示為：
在 M1和 M2自（zì）身（shēn）中已包含基礎梁單元質量矩陣和附加零件質量，應用有限元對號入座法可得轉子係統（tǒng）的總體質量矩陣為：
4.2.3 係統總載荷向量（liàng）和係統（tǒng）總位移向量
高速電主軸采用角接觸球軸承，有外力作用對軸承的剛度、係統的剛度和動態性能都有一定（dìng）的影響（xiǎng）。圖 4-2 為梁結構受力示意圖，其中 D為單元 i 的外徑，d為單元 i的直徑，l 為單元長（zhǎng）度；虛線為空心部分，打斜（xié）線部分為軸（zhóu）上附加零件其（qí）外徑為 Df。
圖（tú） 4-2 兩個（gè）單元的梁（liáng）結構受力示意圖
根據有限元法，單元（yuán）兩端（duān） i 和 i+1 節點作用有等效外載荷，並產生相應軸向位移（yí），單元 i 外載荷列向量可表示為：
根據對號入座原則（zé）將（jiāng）轉子（zǐ）係統所有單元的載荷列向量組裝合成（chéng）係統（tǒng）總載荷向量，從（cóng）而可得：
同樣，根據（jù）對號（hào）入座原（yuán）則將轉（zhuǎn）子係統所有單元的位移列向量組裝（zhuāng）合成係統總位移（yí）向量，從而可得：
4.2.4 係統運動微分方程和自由振動微（wēi）分方程
根據上（shàng）述分析，可得包括主軸軸承動剛度在內的高速電主軸（zhóu）轉子-軸承係統的有限元運動微分方程和自由（yóu）振動微分方程可表示為（wéi）：
M X+KX=F(4-25)
M X+KX=0(4-26)
式中 K——係統總剛度矩陣式；
M——係（xì）統總質量矩陣式；
F——係統總載荷矩陣式；
X——係統總位移向（xiàng）量式。
4.3、係統運動微分方程的求（qiú）解
4.3.1 轉子（zǐ）-軸承係統的固有頻率和（hé）臨界轉速
為確保高速（sù）電主軸的工作（zuò）轉速在安全範圍內，不發生共振，需要計算高速電主軸轉子的臨（lín）界轉速。
彈性體的自由振動可（kě）以分解為一係列（liè）簡諧運（yùn）動的疊加，設自由（yóu）振蕩的（de）位移方程為：
表（biǎo） 4-1 GS 係列內圓磨床用電主軸角接觸球軸承-轉子係（xì）統的結構參數
表（biǎo） 4-2 軸承（chéng） B719000C 的主要結（jié）構參數
表 4-3 文（wén） GS 係（xì）列電主軸提供係統動態性能參（cān）數
本文選用上海博（bó）紅科工貿有限公（gōng）司的 GS 係列（liè）的內圓表麵磨床電主軸為基礎模型，所選用主軸軸承（chéng）的鋼球材料為 GCr15 軸承材料鋼（gāng），主軸軸承（chéng）的型號（hào）為 FAG軸承 B71900C-2RZ/HQ1，d=10 mm,D=22 mm,t=6 mm 的角接觸球軸承其物理性（xìng）能參數為 μ=0.3，ρw=7.85×10-3 kg/mm3,Ew=2.1×105 MPa，其轉子-軸承係統的結構簡圖如（rú）圖 2-2 所示，其他係（xì）統結（jié）構性能參數如表 4-1 所示，其中，L 為支承跨距（jù），L1為外伸長度，Ld為內置電機長度。假設在轉子-軸承的不平衡響應分析中軸端節點 1處（chù）不平衡質量所（suǒ）產（chǎn）生的不平衡激振力的幅值為 A’=15.5 N，彈簧的預載為（wéi） 70 N，軸承的（de）主要結構參數如表 4-2 所（suǒ）示，GS 係列電主軸提供的動態性能參數如圖 4-3 所示，最高工作轉速 n=150000 r/min。
4.3.2 轉子-軸承係統的不平衡響應
電主（zhǔ）軸在固有頻率範圍內，即在轉（zhuǎn）速接近轉子係統的臨界轉速的附近區域內（nèi）時，會發生共振，產生劇烈振動。因此，分析振（zhèn）動響應是（shì）本文的主要內容之一。
本（běn）文忽略電主軸內部產生的微弱不平衡響應，假（jiǎ）設軸端不平衡質量為 '1m，不平衡力的大小可表示為：
將不平衡力 F‘1r和係統總載（zǎi）荷列向量 F 按照對號入座疊加，得到包（bāo）括不平衡力的（de）係統總載荷力向量 F’’。在（zài）整（zhěng）體外載的係統微分方（fāng）程為：
可（kě）用無阻尼係統的（de）振幅疊加（jiā）法求解式（4-35），得到係統的不平衡響應。前麵由頻率方程求出係統的固有頻率 ωi和特（tè）征值、特征向量等。
振型疊加法是一種利用固有頻率和振型求解係（xì）統不（bú）平衡響應（yīng）的方法。其基本原理是：對係（xì）統自由（yóu）振動進行模分析，得到係統的固有頻率和固有（yǒu）振型及其模（mó）態矩陣，再利用模態矩陣對係統方程進行解耦，將係統動力學方程轉換為（wéi）各主坐標上的非耦合方程。
設係統的主振型為iφ ，代入特征方程式（4-28）：
對於的係統的振型模態矩陣為：
依次對剛度矩陣，質量矩陣，矢量力進行作（zuò）坐標變換，使方（fāng）程解耦。則係（xì）統的主剛度矩陣和主質量矩陣（zhèn）為：
由於模態矩陣為正交矩陣，因而其轉置矩陣等於逆矩陣，對（duì）初始條件和激振力（lì）作變換：
結合式（4-35）、（4-38）、（4-39）、（5-42），將原方程解耦，最後得出解耦（ǒu）方程為：
求出係統在主坐標（biāo）上（shàng）的響（xiǎng）應後再根據式（4-40）將（jiāng）主坐標（biāo）響應（yīng）變換回原來的物理坐標的響應：
4.3.3 係統運動微分（fèn）方程的求解
（1）高速電主軸的轉子-軸承係統的運動微分方（fāng）程（chéng）是非（fēi）線性方程，由於軸承（chéng）的動剛度會發生非線（xiàn）性變化，所以需要采用數值分析中的迭代方法交互計算，反複迭代逐步逼近，最後求解（jiě）。係統動態性能的求（qiú）解依托於（yú）軸承動剛度等軸承動態性能的（de）求解，先求解出支承剛度（dù），然後再解決係統問題，這是求解本課題所研究問題的關鍵步驟。係統動力微分方程的求解程序的主要流程圖如圖 4-4 所示。
（2）如表 4-4 所示，本（běn）文所計算的動態參數的結（jié）果（guǒ）與上海博紅科工貿有限公（gōng）司有在（zài）誤差允許範圍內。
表 4-4 本文所求係統動態性能參數
（3）主（zhǔ）軸支承軸承（chéng）的動（dòng）力學狀態對係統的性能影響比較大，特別（bié）是動剛度的影響，直接關係著係統總剛度的（de）變化。預載荷（hé）、轉速、軸端（duān）附加零件（jiàn）質量、轉子的支承跨距和轉（zhuǎn）子外伸長度（dù）等對係統性（xìng）能的影響較大。本文將通過對（duì）固有頻率、臨界轉速、軸端不平衡響（xiǎng）應等的（de）影響因素進行分析，通過分析這些因素，為電主軸的結構設計，結構優化等提供參考數據和理論基礎（chǔ）。
圖 4-4 轉子軸（zhóu）承（chéng）係（xì）統（tǒng）動力學分析程序流（liú）程圖
4.4、 轉子-軸承係統動態性能的影響因素及其分（fèn）析
4.4.1 固（gù）有頻率的影響因（yīn）素及分析
軸向預載荷、軸向外載荷和徑向外（wài）載（zǎi）荷、球軸（zhóu）承滾動（dòng）體（tǐ）的數量及直徑、球滾動體的材料、初始（shǐ）設計接觸角、套圈（quān）的滾（gǔn）道曲率半徑等影響（xiǎng）因（yīn）素對角接觸（chù）球軸承的（de）動剛度產生比較大的影響，進而影響係統的動態性能。還有主軸上的許多影響因素，比如電主軸空心轉子內（nèi）孔直徑、軸承之間的支承跨距、軸承的配置形式、軸承（chéng）的數量、內裝電機轉子的外徑、內裝電機（jī）轉（zhuǎn）動長度、主軸軸端不（bú）平衡質量、轉子的外伸長度等因素。因而，球軸（zhóu）承支承的轉（zhuǎn）子係統的動態性能分析是非常複雜的，通過分析各個因素相互影響、交（jiāo）錯迭代得到相關數據。通過分析這些因素，從而為電主軸的（de）結（jié）構設計，結構優化等參（cān）考數據和理論基（jī）礎。
（1）轉速對固有頻率情況由圖 4-5 給出，可以看出，中（zhōng）、低（dī）速或靜止時係統的固有頻率比高速時的固有頻率高出很多。在高（gāo）速狀態下隨著轉速的增加，係統的固有頻率（lǜ）會隨之下降，產（chǎn）生較大的變（biàn）化，並且在（zài）相對較高速時，固有頻率會發生（shēng）反彈回升，但（dàn）是幅度不大。
（2）機床電主軸軸端安裝有刀具（jù）等軸端不（bú）平衡質量，也需要添加砂輪等軸端附加零件，使得軸端附加零件（jiàn）質量增（zēng）加並且對軸承-轉子（zǐ）係統的動態性能產生較大的影響。如（rú）圖（tú） 4-6 給出的軸端附（fù）加質量對係統固有頻率的影響關係，基（jī）本和轉速對固有（yǒu）頻率的影響（xiǎng）效果一致，所（suǒ）以應該盡量減（jiǎn）小軸端附（fù）加零件的質量，提高係統性能（néng）。
圖（tú） 4-5 轉速與固有頻率的關（guān）係（xì）
圖 4-6 軸端不（bú）平衡質（zhì）量與固有頻率的關（guān）係
（3）預載荷對球軸承的剛度影響（xiǎng）比較（jiào）大，一定程度的預載荷對軸承的（de）剛（gāng）度（dù）和係統的性能有很大的提高。如圖 4-7 所示，隨著預載荷的（de）增加，係統的固有（yǒu）頻率也（yě）在不斷的增加，但是增加的幅度（dù）越來越小，所以（yǐ）預載荷不能太（tài）大，太大了也沒有效果，反而對軸承的壽命產生不利的影（yǐng）響。
圖 4-7 預載荷與固有頻率的關係
圖 4-8 軸承支承跨距與固（gù）有頻率的關係
（4）軸（zhóu）承支承跨距和係統固有頻率的關係如圖 4-8 所示，隨著支承跨距的增（zēng）加，係統的固（gù）有頻率先增（zēng）加後減小，在軸承支承跨距比較小（xiǎo）的時候，軸（zhóu）承-轉子（zǐ）係統的固有頻率變化不大，此時跨距對係統（tǒng）性能的影響比較小，當跨距增加到一定程度時，係統的固有頻率較快的增加再快（kuài）速的減小，從圖上可以看出存在一個最優跨距值，此值為圖形峰值（zhí），這是（shì）電主軸設計優化時需（xū）要考慮的。而在峰（fēng）值以後也就是在（zài）較大跨距時跨（kuà）距對係統固有頻率的影響越來越明顯。
圖 4-9 轉子外伸長度與固有頻率的關係
（5）如（rú）圖 4-9 所示，主軸的外伸長度越大，係統的固有頻率在不斷的減小，外伸（shēn）長度（dù）較小（xiǎo）時下降得不明顯，當外伸長（zhǎng）度越來越大的時候，係統的固有頻率呈現明顯的下降趨勢，影響程度（dù）非常大。所以出於電主軸（zhóu）性能方麵的考慮，較小的轉子外伸長度時係統固有頻率可以（yǐ）有比較大的值，係統的性能（néng）也會相應的提高（gāo），所以在主軸結構（gòu）設（shè）計時，應盡量減小主軸轉子的外伸（shēn）長度值。
4.4.2 臨界轉速的影響因素及分析
（1）如圖 4-10 所示，軸端不平衡質量與臨界轉速的關（guān）係，軸端質量越大，對係（xì）統的一（yī）階臨界（jiè）轉速影響較大，但是變化速（sù）率（lǜ）是變小（xiǎo）的。從圖中可以分析得出，係統軸端不平（píng）衡質（zhì）量（liàng）越小，係統的性能越優越。所以應該（gāi）盡可能（néng）的減（jiǎn）小軸端不平衡質量（liàng）的值。
圖 4-10 軸端不（bú）平衡質（zhì）量與臨（lín）界轉速的關係
圖（tú） 4-11 預載荷與臨界轉速的關係
（2）如圖 4-11 所示，預載荷與係（xì）統臨（lín）界轉速的關係中，隨著（zhe）預載荷的增加，係統（tǒng）一階臨界轉速也在不斷（duàn）的增加，變（biàn）化速率也是在變小的。這是因為預載荷增加，係統（tǒng）支撐軸承的動剛度也相應增加，使得係統的總剛度也相應增加，係統性能也提高了。可以適當的增加係（xì）統的預載荷，但是預載荷增加後，對支撐軸承的壽命影響也（yě）變（biàn）大，所（suǒ）以預載荷應當選擇恰當。
（3）支撐（chēng）跨（kuà）距與係統一階臨界轉速的關係（xì）如圖 4-12 所示，隨著支承跨距的增加，係統的臨界轉速整體上（shàng）是在減小的。當支承跨距（jù）較小時（shí），係統臨界轉速隨著跨距的改變的（de）幅度不大，當支承跨距增加到一定程度時，係統的一階臨界轉速（sù）迅速降（jiàng）低（dī），使得係統（tǒng）的性能也相應降低，所以軸承（chéng）支承跨距應盡可能的小，以利（lì）於（yú）提高係統性能。
圖 4-12 軸端支承跨距與臨界轉速的關（guān）係
圖 4-13 轉子外伸長度與（yǔ）臨界轉（zhuǎn）速（sù）的關係
（4）轉子外伸長度與係統一階臨界轉速（sù）的（de）關係（xì）如圖 4-13 所示，隨著轉子外伸長度的增加，係統的臨界轉速也在減小，而且也是在轉（zhuǎn）子外伸（shēn）長度較小時（shí），係統一階臨（lín）界轉速變化較小，外伸長度增加後一階臨界轉速劇烈較小，這就要求（qiú）在（zài）電主軸設計時，需要對（duì）轉子（zǐ）的外伸長度有一定的要求，適當較小轉子外伸長度有利於電主（zhǔ）軸係統（tǒng）的動態性能提升。
4.4.3 不平（píng）衡（héng）響（xiǎng）應的影響因素（sù）及分析
（1）如圖 4-14 所（suǒ）示，轉子外（wài）伸長度與軸端不平衡響應的關（guān）係，可以看（kàn）出，轉子外伸長度越大，對係統的軸端不平衡響應影響越大，而且變化（huà）速率也變（biàn）大。從圖中可以分析得出，係（xì）統軸端（duān）不平衡質量越大，係統的軸端不平衡響應（yīng）越大，係統的性能（néng）越差。所以應該盡可能的減小軸（zhóu）端不平衡質量的值。
圖 4-14 轉子外伸（shēn）長度與不平（píng）衡響應的關係
圖 4-15 預載荷與不平衡響應的關係
圖 4-16 軸承（chéng）支承跨（kuà）距與不平衡響應的關係
圖 4-17 轉速與（yǔ）不平衡響應的關係
（2）預載荷與軸端不平衡響應的（de）關係如圖 4-15 所示，可以看出，添加在軸上預載荷（hé）越大，係（xì）統的軸端不平衡（héng）響應越小，但是變化率也同時在減小，也就是說，當預載（zǎi）荷增加到一定（dìng）程度時，預載荷對係統的軸端不平衡響應的影響幾乎可以忽略，雖然（rán）預載荷可以減小軸（zhóu）端不平衡響應（yīng），但是也不能盲目的增加，因為預載荷過大會降低軸承壽命。
（3）如圖 4-16 所示，軸承支承跨距與軸端不平衡響應的關係圖，從圖中可以看出，隨著軸承支承跨距的不斷增加，主軸軸端不平（píng）衡響應不斷的減小，所以從係統的振動響應方麵考慮（lǜ），軸端軸承支承跨距增加有利於減小（xiǎo）軸端不平衡響應（yīng），從而改善係統的（de）動態性能。但（dàn）另一方麵，由之前的（de）支承跨距使得一階固有頻率和一階臨界轉速減小，對係統的動態性能又具有一定的副作用。
（4）轉速對軸端不平衡響應的影響（xiǎng）表（biǎo）現在較低速時增加（jiā）比較明顯，如圖 4-17所示，隨著轉速的增加，轉子軸端不平衡響應越來越大，最後到一定（dìng）值的時候，基本上就不再增加了。由此可見，電主軸要想得到（dào）高轉（zhuǎn）速時軸端（duān）不平衡響應較小，需要對其他影響因素進行控製，畢竟（jìng）高轉（zhuǎn）速才（cái）是提高機床（chuáng）加（jiā）工性能的關鍵。
4.5、本章小（xiǎo）結
本章（zhāng）通過對轉速（sù）、軸端質量、預載荷、軸（zhóu）承支承跨距、轉子外伸長度等影響因素（sù）對轉子-軸承係統的動態性能產生（shēng）的影響（xiǎng）進行分析，最終得出以下結（jié）論：
（1）主軸支承軸承的動（dòng）力學狀態對係統的性能影響比較大，特別是動剛（gāng）度的影響，直（zhí）接關係著（zhe）係統總剛度（dù）的變（biàn）化。在轉子係統高速運轉狀態下，軸承的（de）內（nèi）部動力學狀態影響更是不可忽略。預（yù）載荷和轉速對係統的（de）固有（yǒu）頻率、臨界轉速、軸端不平衡響應等影響（xiǎng）較大，一定程（chéng）度的預載荷增加有利於係統性能的提升（shēng），但是（shì）並不是（shì）預載荷越（yuè）大越好，因為考慮到預載荷增（zēng）加會使軸承壽命（mìng）降低。轉速的增加（jiā）對係統動態性能的影響是負麵的，電主軸結構的設計就是為了實現在高轉速狀態下把這些負麵影響降到最低。
（2）軸端（duān）附加零件質量、轉子的支承跨距（jù）和轉子外伸長度等主軸轉子結構（gòu）設計也會對係統的性能產生較（jiào）大的影（yǐng）響。轉子的支承跨距對係統臨界轉速（sù）的影響出現了一個峰值，在峰值附近（jìn）係統的軸端（duān）不平衡響應也比較小，可以考慮選取附近（jìn）的值作為係統的支承跨距；軸端（duān）附加零件質量的（de）影響是負麵的，質量越大對係統（tǒng）性能越不利，所以應當適當減小（xiǎo）軸端零件砂輪等的質量；轉子外伸長度對係統固有頻率、臨界（jiè）轉速（sù）、軸端不平衡響應的影響和轉子軸（zhóu）端附加零件質量的（de）影響趨勢基本相似，所以外伸長度也（yě）應該選取較小（xiǎo）的適當的值。
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